حل تمرین 2 صفحه 151 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! تابع در $\mathbf{x = ۱}$ پیوسته است اگر سه شرط زیر برقرار باشد: $\mathbf{f(۱)}$ تعریف شده، $\mathbf{\lim_{x \to ۱} f(x)}$ موجود، و $\mathbf{\lim_{x \to ۱} f(x) = f(۱)}$ باشد. 🤝 --- ### الف) $f(x) = \begin{cases} ۲x - ۱ & x < ۱ \\ a & x = ۱ \\ -x + ۲ & x > ۱ \end{cases}$ **۱. حد در $x = ۱$**: حد چپ و راست باید برابر باشند: * **حد چپ**: $\lim_{x \to ۱^-} (۲x - ۱) = ۲(۱) - ۱ = ۱$ * **حد راست**: $\lim_{x \to ۱^+} (-x + ۲) = -۱ + ۲ = ۱$ * **نتیجه**: $\lim_{x \to ۱} f(x) = ۱$. **۲. شرط پیوستگی**: حد باید برابر مقدار تابع باشد: $\lim_{x \to ۱} f(x) = f(۱)$. $$\mathbf{a = ۱}$$ --- ### ب) $g(x) = \begin{cases} \frac{x^۲ + x - ۲}{x - ۱} & x \ne ۱ \\ a & x = ۱ \end{cases}$ **۱. حد در $x = ۱$**: حد مبهم $\frac{۰}{۰}$. با تجزیه صورت، ابهام را رفع می‌کنیم: $$x^۲ + x - ۲ = (x - ۱)(x + ۲)$$ $$\lim_{x \to ۱} \frac{(x - ۱)(x + ۲)}{x - ۱} = \lim_{x \to ۱} (x + ۲) = ۱ + ۲ = ۳$$ * **نتیجه**: $\lim_{x \to ۱} g(x) = ۳$. **۲. شرط پیوستگی**: $\lim_{x \to ۱} g(x) = g(۱) = a$. $$\mathbf{a = ۳}$$ --- ### پ) $h(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x} - ۱}{x - ۱} & ۰ < x < ۱ \\ [x] + a & x \ge ۱ \end{cases}$ **۱. حد در $x = ۱$**: حد چپ و راست باید برابر باشند. * **حد راست**: $\lim_{x \to ۱^+} ([x] + a) = [۱] + a = ۱ + a$. * **حد چپ**: $\lim_{x \to ۱^-} \frac{\sqrt{x} - ۱}{x - ۱}$ (حد مبهم $\frac{۰}{۰}$). * **رفع ابهام (هم‌یوغ)**: $\lim_{x \to ۱^-} \frac{\sqrt{x} - ۱}{(\sqrt{x} - ۱)(\sqrt{x} + ۱)} = \lim_{x \to ۱^-} \frac{۱}{\sqrt{x} + ۱} = \frac{۱}{\sqrt{۱} + ۱} = \frac{۱}{۲}$ * **برابری حدها**: $۱ + a = \frac{۱}{۲}$ **۲. حل برای $a$**: $a = \frac{۱}{۲} - ۱ = -\frac{۱}{۲}$. $$\mathbf{a = -\frac{۱}{۲}}$$ --- ### ت) $k(x) = ([x] - a)[x]$ **۱. حد در $x = ۱$**: حد چپ و راست باید برابر باشند. * **حد چپ**: $\lim_{x \to ۱^-} ([x] - a)[x]$. برای $x \to ۱^-$, $\mathbf{[x] = ۰}$. $$\lim_{x \to ۱^-} (۰ - a)۰ = \mathbf{۰}$$ * **حد راست**: $\lim_{x \to ۱^+} ([x] - a)[x]$. برای $x \to ۱^+$, $\mathbf{[x] = ۱}$. $$\lim_{x \to ۱^+} (۱ - a)۱ = \mathbf{۱ - a}$$ **۲. شرط پیوستگی**: برای پیوستگی در $x=۱$ (و وجود حد)، باید حد چپ و راست برابر باشند. $$۰ = ۱ - a \implies \mathbf{a = ۱}$$ * **بررسی مقدار**: اگر $a=۱$ باشد، $k(۱) = ([۱] - ۱)[۱] = (۱ - ۱)۱ = ۰$. حد ($۰$) برابر مقدار ($۰$) است. $$\mathbf{a = ۱}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! برای اثبات عدم پیوستگی، کافی است **یکی از سه شرط پیوستگی** ($\mathbf{f(۰)}$ تعریف شده، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x)}$ موجود، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x) = f(۰)}$) نقض شود. 🚫 --- ### الف) $f(x) = \begin{cases} x & x < ۰ \\ a & x = ۰ \\ ۲x + ۱ & x > ۰ \end{cases}$ **۱. بررسی حد در $x = ۰$**: * **حد چپ**: $\lim_{x \to ۰^-} x = \mathbf{۰}$ * **حد راست**: $\lim_{x \to ۰^+} (۲x + ۱) = ۲(۰) + ۱ = \mathbf{۱}$ **۲. نتیجه حد**: چون $\mathbf{۰ \ne ۱}$ است، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x) \quad \text{وجود ندارد}}$ (ناپیوستگی پرشی). **۳. نتیجه نهایی**: چون حد در $x=۰$ موجود نیست، **به ازای هیچ مقداری برای $\mathbf{a}$، تابع $\mathbf{f}$ در $x=۰$ پیوسته نیست**. --- ### ب) $g(x) = \begin{cases} \frac{ax}{|x|} & x \ne ۰ \\ ۱ & x = ۰ \end{cases}$ **۱. بررسی حد در $x = ۰$**: ابتدا $|x|$ را ساده می‌کنیم: * **حد چپ ($athbf{x < ۰}$)**: $|x| = -x$. $$\lim_{x \to ۰^-} \frac{ax}{-x} = \lim_{x \to ۰^-} -a = \mathbf{-a}$$ * **حد راست ($athbf{x > ۰}$)**: $|x| = x$. $$\lim_{x \to ۰^+} \frac{ax}{x} = \lim_{x \to ۰^+} a = \mathbf{a}$$ **۲. شرط وجود حد**: حد وجود دارد اگر حد چپ و راست برابر باشند: $$-a = a \implies ۲a = ۰ \implies \mathbf{a = ۰}$$ **۳. بررسی پیوستگی (اگر $a=۰$ باشد)**: * **حد**: اگر $a=۰$ باشد، $\lim_{x \to ۰} g(x) = ۰$. * **مقدار تابع**: $g(۰) = ۱$ (داده شده). * **نتیجه**: $\lim_{x \to ۰} g(x) = ۰ \ne g(۰) = ۱$. **۴. نتیجه نهایی**: حد تابع تنها در $\mathbf{a=۰}$ موجود است، اما در آن حالت، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} g(x) \ne g(۰)}$ است. بنابراین، **به ازای هیچ مقداری برای $\mathbf{a}$، تابع $\mathbf{g}$ در $x=۰$ پیوسته نیست**. ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر فهم عمیق تفاوت بین **حد داشتن** و **پیوسته بودن** متمرکز است. 🧠 --- ### الف) ناپیوسته در صفر، ولی حد در صفر موجود **شرط**: $\lim_{x \to ۰} f(x) = L$ (موجود) اما $f(۰) \ne L$ یا $f(۰)$ تعریف نشده. * **نمودار پیشنهادی (حفره با پرش مقدار)**: * $\mathbf{f(x) = x + ۱}$ برای $\mathbf{x \ne ۰}$ * $\mathbf{f(۰) = ۳}$ (مقدار پرش یافته) * در این تابع: $\lim_{x \to ۰} f(x) = ۱$ (حفره در $(۰, ۱)$) و $f(۰) = ۳$ (نقطه پر). --- ### ب) ناپیوسته و حد ناموجود در $x=۲$ و $x=۳$ **شرط**: در $x=۲$ و $x=۳$ **پرش** وجود داشته باشد (حد چپ $\ne$ حد راست). * **نمودار پیشنهادی (تابع پله‌ای/چندضابطه‌ای)**: * $\mathbf{f(x) = ۲}$ برای $\mathbf{x < ۲}$ * $\mathbf{f(x) = ۰}$ برای $\mathbf{۲ \le x < ۳}$ * $\mathbf{f(x) = 3}$ برای $\mathbf{x \ge ۳}$ * **بررسی**: * **$x=۲$**: $\lim_{x \to ۲^-} = ۲, \lim_{x \to ۲^+} = ۰$. حد ندارد. * **$x=۳$**: $\lim_{x \to ۳^-} = ۰, \lim_{x \to ۳^+} = ۳$. حد ندارد. --- ### پ) ضابطه تابعی که فقط در دو نقطه ناپیوسته باشد ما از توابع گویا استفاده می‌کنیم تا در نقاطی که مخرج صفر می‌شود ناپیوسته باشد، یا از توابع با ضابطه ترکیبی. * **ضابطه پیشنهادی (ناپیوستگی حفره‌ای)**: $$\mathbf{f(x) = \frac{۱}{(x - ۲)(x - ۳)}}$$ * **بررسی**: این تابع در $\mathbf{x=۲}$ و $\mathbf{x=۳}$ دارای **مجانب عمودی** است. در این نقاط حد موجود نیست و تابع ناپیوسته است. در بقیه نقاط پیوسته است. * **نتیجه**: تابع $\mathbf{f(x) = \frac{۱}{(x - ۲)(x - ۳)}}$ فقط در دو نقطه $x=۲$ و $x=۳$ ناپیوسته است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! تابع $\mathbf{f(x) = [x]}$ (جزء صحیح) یک تابع پله‌ای است که در **تمام اعداد صحیح** ناپیوسته است. برای اینکه تابع در یک **بازه باز** $\mathbf{(a, k)}$ پیوسته باشد، آن بازه **نباید شامل هیچ عدد صحیحی** باشد. 🧠 --- ### ۱. نقاط ناپیوستگی تابع $f(x) = [x]$ نقاط ناپیوستگی تابع جزء صحیح، اعداد صحیح هستند: $\mathbf{\dots, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳, ۴, \dots}$ ### ۲. بررسی بازه $(۲, k)$ * **شروع بازه**: بازه از $athbf{x=۲}$ شروع می‌شود (و ۲ در بازه باز نیست). * **اولین نقطه ناپیوستگی بعد از ۲**: اولین عدد صحیح بعد از ۲، عدد $athbf{۳}$ است. * **شرط پیوستگی**: برای اینکه تابع در تمام بازه $(۲, k)$ پیوسته باشد، باید $k$ به گونه‌ای باشد که **اولین عدد صحیح ناپیوسته (یعنی ۳)** در داخل این بازه قرار نگیرد. ### ۳. تعیین حداکثر $k$ اگر $athbf{k}$ برابر با $athbf{۳}$ باشد، بازه $athbf{(۲, ۳)}$ می‌شود. * **در بازه $(۲, ۳)$**: $[x] = ۲$. ضابطه تابع $f(x) = [x] = ۲$ است که یک تابع ثابت است و پیوسته است. اگر $k > ۳$ باشد (مثلاً $k=۳.۱$)، بازه $(۲, ۳.۱)$ شامل $athbf{۳}$ می‌شود و تابع در $x=۳$ ناپیوسته است. **نتیجه**: حداکثر مقدار $k$ که باعث می‌شود تابع در بازه $(۲, k)$ پیوسته باقی بماند، $athbf{۳}$ است. $$\mathbf{\text{حداکثر } k = ۳}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! برای پیدا کردن بازه‌ای که یک **تابع رادیکالی** روی آن پیوسته باشد، ابتدا باید **دامنه تابع** را مشخص کنیم. توابع رادیکالی در دامنه خود پیوسته هستند. 🧠 --- ### ۱. تعیین دامنه تابع ($D_f$) تابع $f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - x}$ شامل رادیکال با فرجه زوج است. عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $$۳ - x \ge ۰ \implies ۳ \ge x \implies x \le ۳$$ $$\mathbf{D_f = (-\infty, ۳]}$$ ### ۲. پیوستگی در بازه بسته تابع $f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - x}$ یک تابع رادیکالی است و در تمام دامنه خود $\mathbf{(-\infty, ۳]}$ پیوسته است. * **شرط پیوستگی در بازه بسته $[a, b]$**: تابع باید در $(a, b)$ پیوسته باشد و در $a$ از راست و در $b$ از چپ پیوسته باشد. ### ۳. ارائه بازه بسته ما می‌توانیم هر بازه بسته‌ای که زیرمجموعه دامنه $(-\infty, ۳]$ باشد را انتخاب کنیم. * **پیوستگی از راست در $a$**: برای هر $a < ۳$, تابع در $a$ پیوسته است. * **پیوستگی از چپ در $b$**: برای $b=۳$: * $f(۳) = ۲ - \sqrt{۳ - ۳} = ۲$. * $\lim_{x \to ۳^-} f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - ۳} = ۲$. * تابع در $x=۳$ از چپ پیوسته است. $\checkmark$ **بازه پیشنهادی (هر بازه $\mathbf{[a, 3]}$)**: $$\mathbf{[۰, ۳]} \quad \text{یا} \quad \mathbf{[-۱, ۳]}$$ **نتیجه**: ساده‌ترین بازه بسته پیشنهادی که شامل نقاط ناپیوستگی نیست، $\mathbf{[۰, ۳]}$ است. ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! تابع در $\mathbf{x = ۰}$ پیوسته است اگر $\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = \lim_{x \to ۰^+} f(x) = f(۰)}$ باشد. 🤝 --- ### گام اول: محاسبه حد راست ($athbf{x \to ۰^+}$) * **ضابطه**: $f(x) = \frac{۱ - \cos x}{x^۲}$. حد مبهم $\frac{۰}{۰}$. * **استفاده از قانون حد مثلثاتی**: $\lim_{x \to ۰} \frac{۱ - \cos x}{x^۲} = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$. $$\mathbf{\lim_{x \to ۰^+} f(x) = \frac{۱}{۲}}$$ ### گام دوم: محاسبه حد چپ ($athbf{x \to ۰^-}$) * **ضابطه**: $f(x) = x - ۲a$. * **محاسبه**: $\lim_{x \to ۰^-} (x - ۲a) = ۰ - ۲a = \mathbf{-۲a}$ ### گام سوم: محاسبه مقدار تابع ($f(۰)$) * **مقدار**: $\mathbf{f(۰) = b - ۱}$ ### گام چهارم: اعمال شرط پیوستگی حد چپ $=$ حد راست $=$ مقدار تابع: $$\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = \lim_{x \to ۰^+} f(x)}$$ $$\mathbf{-۲a = \frac{۱}{۲}} \implies a = \frac{۱}{۲} \times (-\frac{۱}{۲}) \implies \mathbf{a = -\frac{۱}{۴}}$$ و مقدار تابع باید برابر حد باشد: $$\mathbf{f(۰) = \lim_{x \to ۰} f(x)}$$ $$\mathbf{b - ۱ = \frac{۱}{۲}} \implies b = ۱ + \frac{۱}{۲} \implies \mathbf{b = \frac{۳}{۲}}$$ **نتیجه**: $$\mathbf{a = -\frac{۱}{۴} \quad \text{و} \quad b = \frac{۳}{۲}}$$